Question

如圖，三角形ABC中，AC=BC=

2

2

AB，ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

分析：（1）證法一：證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，除了可以根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過(guò)平面與平面平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如取BE的中點(diǎn)H，連接HF、GH，根據(jù)中位線(xiàn)定理易證得：平面HGF∥平面ABC，進(jìn)一步可得：GF∥平面ABC．
證法二：根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．故只需在平面ABC中找到與GF平行的直線(xiàn)即可．因?yàn)镚、F分別是EC、BD的中點(diǎn)，故平移是可以通過(guò)構(gòu)造特殊的四邊形、三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)．
證法三：根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．故只需在平面ABC中找到與GF平行的直線(xiàn)即可．因?yàn)镚、F分別是EC、BD的中點(diǎn)，所以構(gòu)造中位線(xiàn)是常用的找到平行直線(xiàn)的方法．
（2）證明直線(xiàn)與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線(xiàn)與之都垂直．有時(shí)候題目中沒(méi)有現(xiàn)成的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，需要我們先通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直或者平面與平面垂直去轉(zhuǎn)化一下．由第一問(wèn)可知：GF∥平面ABC，而平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC；又由勾股定理可以證明：AC⊥BC．
（3）解決棱錐、棱柱求體積的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對(duì)應(yīng)的底面，切忌不審圖形，盲目求解；根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知：CN⊥平面ABED，而ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，進(jìn)一步即可以求得體積．

解答：解：（I）證法一：取BE的中點(diǎn)H，連接HF、GH，（如圖）

∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)
∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）
又∵ADEB為正方形∴DE∥AB，從而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC（5分）
證法二：取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N連接GM、FN、MN
（如圖）

∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)
∴

GM∥BE，且GM= 1 2 BE， NF∥DA，且NF= 1 2 DA

（2分）
又∵ADEB為正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG為平行四邊形
∴GF∥MN，又MN?平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
證法三：連接AE，
∵ADEB為正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中點(diǎn)，（2分）
∴GF∥AC，
又AC?平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
（Ⅱ）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）
∴BE⊥AC
又∵CA²+CB²=AB²
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE（9分）
（Ⅲ）連接CN，因?yàn)锳C=BC，∴CN⊥AB，（10分）
又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴CN=

1

2

AB=

1

2

，（12分）
∵C-ABED是四棱錐，
∴V_C-ABED=

1

3

SABED•CN=

1

3

×1×

1

2

=

1

6

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、面面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．