Question

18．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*），設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，則使S_n＜-4成立的最小自然數(shù)n等于81．

Answer 1

分析 求得a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和求得S_n=-log₃（n+1），再由對(duì)數(shù)不等式的解法可得n的范圍，進(jìn)而得到n的最小值．

解答 解：a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），
即有前n項(xiàng)和為S_n=log₃1-log₃2+log₃2-log₃3+…+log₃n-log₃（n+1）
=-log₃（n+1），
由S_n＜-4，即為log₃（n+1）＞4，
解得n+1＞81，即有n＞80，
則n的最小值為81．
故答案為：81．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．