如圖，橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)的連線與x軸垂直，且OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓長軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）F1是橢圓的左焦點(diǎn)，C是橢圓上的任一點(diǎn)，證明：；
（3）過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若的面積是20 ，求此時(shí)橢圓的方程．

（1）；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）由橢圓方程可知。將代入橢圓方程可得，分析可知點(diǎn)在第一象限，所以。由兩直線平行斜率相等，可得，解得，所以，從而可得離心率。（2）由橢圓的定義知,且，在中用余弦定理可得，用基本不等式可證得，即，所以在中。（3）由（1）可得，即直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因?yàn)檫^點(diǎn)可得直線的方程為，將此直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。可將分割長以為同底的兩個(gè)三角形，兩三角形的高的和為（還可用弦長公式求在用點(diǎn)到線的距離公式求高，然后再求面積）。根據(jù)三角形面積為可求的值，從而可得橢圓方程。
（1）易得    4分
（2）證：由橢圓定義得：

   8分
（3）解：設(shè)直線PQ的方程為 ．代入橢圓方程消去x得：
，整理得：
∴
因此a2＝50，b2＝25，所以橢圓方程為            12分
考點(diǎn)：1橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2余弦定理；3基本不等式；4直線與橢圓的位置關(guān)系問題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且·>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.過點(diǎn)
作直線交拋物線與兩點(diǎn)(在第一象限內(nèi)).
(1)若與焦點(diǎn)重合,且.求直線的方程;
(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.直線交軸于. 且.求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，其離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，試判斷隨著的轉(zhuǎn)動(dòng)，直線與的斜率的乘積是否為定值？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(，都在軸上方) ，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；
（3）對于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（12分）（2011•重慶）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=，一條準(zhǔn)線的方程是x=2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：=+2，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為﹣，
問：是否存在定點(diǎn)F，使得|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，是拋物線為上的一點(diǎn)，以S為圓心，r為半徑（）做圓，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長SA、SB，分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)。
（1）求證：直線CD的斜率為定值；
（2）延長DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，若EC : ED =" 1" : 3，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•浙江）如圖，點(diǎn)P（0，﹣1）是橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑，l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積的最大值時(shí)直線l1的方程．

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