如圖,橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)的連線與x軸垂直,且OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓長軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行.
(1)求橢圓的離心率;
(2)F1是橢圓的左焦點(diǎn),C是橢圓上的任一點(diǎn),證明:;
(3)過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q,若的面積是20 ,求此時(shí)橢圓的方程.
(1);(2)詳見解析;(3)
解析試題分析:(1)由橢圓方程可知。將代入橢圓方程可得,分析可知點(diǎn)在第一象限,所以。由兩直線平行斜率相等,可得,解得,所以,從而可得離心率。(2)由橢圓的定義知,且,在中用余弦定理可得,用基本不等式可證得,即,所以在中。(3)由(1)可得,即直線的斜率為,所以直線的斜率為,又因?yàn)檫^點(diǎn)可得直線的方程為,將此直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系。可將分割長以為同底的兩個(gè)三角形,兩三角形的高的和為(還可用弦長公式求在用點(diǎn)到線的距離公式求高,然后再求面積)。根據(jù)三角形面積為可求的值,從而可得橢圓方程。
(1)易得 4分
(2)證:由橢圓定義得:
8分
(3)解:設(shè)直線PQ的方程為 .代入橢圓方程消去x得:
,整理得:
∴
因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為 12分
考點(diǎn):1橢圓的簡單幾何性質(zhì);2余弦定理;3基本不等式;4直線與橢圓的位置關(guān)系問題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,,,的面積為.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn),求圓的半徑..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.過點(diǎn)
作直線交拋物線與兩點(diǎn)(在第一象限內(nèi)).
(1)若與焦點(diǎn)重合,且.求直線的方程;
(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.直線交軸于. 且.求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn),其離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為,連接并延長交橢圓于點(diǎn),試判斷隨著的轉(zhuǎn)動(dòng),直線與的斜率的乘積是否為定值?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,到點(diǎn)的距離為,且.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(,都在軸上方) ,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線方程;
(3)對于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)0,離心率e=,一條準(zhǔn)線的方程是x=2
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:=+2,其中M、N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為﹣,
問:是否存在定點(diǎn)F,使得|PF|與點(diǎn)P到直線l:x=2的距離之比為定值;若存在,求F的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是拋物線為上的一點(diǎn),以S為圓心,r為半徑()做圓,分別交x軸于A,B兩點(diǎn),連結(jié)并延長SA、SB,分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)。
(1)求證:直線CD的斜率為定值;
(2)延長DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,若EC : ED =" 1" : 3,求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013•浙江)如圖,點(diǎn)P(0,﹣1)是橢圓C1:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時(shí)直線l1的方程.
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