Question

14．設(shè)O是△ABC的外接圓圓心，且$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，則∠AOC=（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 可設(shè)外接圓的半徑為r，而由$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$便可得到$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}=-\sqrt{3}\overrightarrow{OB}$，兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出cos∠AOC的值，根據(jù)向量夾角的范圍便可得出∠AOC的值．

解答 解：設(shè)圓O的半徑為r，則：
由$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}=-\sqrt{3}\overrightarrow{OB}$；
∴$（\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}）^{2}=（-\sqrt{3}\overrightarrow{OB}）^{2}$；
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+4{\overrightarrow{OC}}^{2}+4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=3{\overrightarrow{OB}}^{2}$；
即r²+4r²+4r²cos∠AOC=3r²；
∴$cos∠AOC=-\frac{1}{2}$；
∴$∠AOC=\frac{2π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形外接圓的概念，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．