Question

2．如圖，三棱錐P-ABC中，側面PAC⊥底面ABC，AP⊥PB，且AB=2$\sqrt{2}$，AC=BC=2，E為PB邊的中點．
（Ⅰ）求證：AP⊥PC；
（Ⅱ）若PC=1，求三棱錐A-PEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ACB中，利用已知結合勾股定理可得AC⊥BC，再由面面垂直的性質可得BC⊥PA，由線面垂直的判定得PA⊥面PBC，則有AP⊥PC；
（Ⅱ）求解直角三角形可得三角形PCB的面積，結合E為PB邊的中點得三角形PCE的面積，再求解直角三角形求得PA，代入棱錐體積公式求得三棱錐A-PEC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，在△ACB中
∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，則AC⊥BC，
又側面PAC⊥底面ABC，∴BC⊥面PAC，則BC⊥PA，
又AP⊥PB，且PB∩BC=B，
∴PA⊥面PBC，則AP⊥PC；
（Ⅱ）解：在Rt△PCB中，由PC=1，BC=2，
可得${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵E為PB邊的中點，∴${S}_{△PEC}=\frac{1}{2}{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}$，
在Rt△APC中，
由PC=1，AC=2，得$PA=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{A-PEC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了三棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．