Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1-|x|，x＜1}\\{{{（x-1）}^2}，x＞1}\end{array}}\right.$，若方程f²（x）+af（x）+b=0有五個(gè)不同的根，則a的取值范圍為（-2，-1）．

Answer 1

分析 設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合以及方程根的關(guān)系進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：設(shè)t=f（x），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖
則當(dāng)t=1時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t＞1或t≤0時(shí)，t=f（x）有一個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
若方程f²（x）+af（x）+b=0有五個(gè)不同的根，
則等價(jià)為方程t²+at+b=0有兩個(gè)不同的根，t₁=1或0＜t₂＜1，
則1＜t₁+t₂＜2，
即1＜-a＜2，則-2＜a＜-1，
即a的取值范圍為（-2，-1），
故答案為：（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)圖象的關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．