Question

3．已知雙曲線C的漸近線方程為y=±x，一個焦點為（2$\sqrt{2}$，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C上的任意一點P，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形ODPG，證明四邊形ODPG的面積是一個定值；
（3）（普通中學做）命題甲：設(shè)直線x=0與y=h（h＞0）在第一象限內(nèi)與漸近線y=x所圍成的三角形OMN繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．

（重點中學做）命題乙：設(shè)直線y=0與y=h（h＞0）在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線所圍成的如圖所示的圖形OABN，求它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點坐標，求出a，b的值進行求解即可．
（2）根據(jù)漸近線的垂直關(guān)系，得到四邊形為矩形，結(jié)合矩形的面積公式進行求解即可．
（3）根據(jù)條件結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∵$c=2\sqrt{2}$，漸近線方程為y=±x，
∴a²+b²=8，且a=b，從而a=b=2，雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
（2）由于兩條漸近線互相垂直，∴四邊形ODPG為矩形．
設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{x_0^2}{4}-\frac{y_0^2}{4}=1$，
∵$|{PD}|•|{PG}|=\frac{{|{{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{2}}}•\frac{{|{{x_0}+{y_0}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{x_0^2-y_0^2}|}}{2}=2$．
∴四邊形ODPG的面積是一個定值．…（8分）
（3）命題甲：設(shè)y=h在第一象限內(nèi)與漸近線的交點N的橫坐標x=h，三角形OMN繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個以|MN|為半徑，OM為高的圓錐，
體積等于$\frac{{π{h^3}}}{3}$（立方單位）…（12分）
命題乙：設(shè)y=h在第一象限內(nèi)與漸近線的交點N的橫坐標x=h，與雙曲線第一象限的交點B的橫坐標$x=\sqrt{4+{h^2}}$，
記y=h與y軸交于點M，因為π|MB|²-π|MN|²=4π
根據(jù)祖暅原理，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為4πh（立方單位）…（12分）

點評 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)條件先求出雙曲線的方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查直線和雙曲線的位置關(guān)系．