Question

11．已知定義在D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$，存在無(wú)窮數(shù)列{a_n}，滿(mǎn)足f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）試求數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₀、a₁、a₂的值，并證明：對(duì)任意的n∈N^*都有a_n≥n；
（2）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$，n∈N^*，是否存在正常數(shù)r，使{b_n}的前n項(xiàng)和S_n≤rf（x）對(duì)任意的x∈D恒成立？若存在，試求出常數(shù)r的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$，得（1-x-x²）$（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{n}{x}^{n}+…）=1$，然后利用展開(kāi)式中x，x²的系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為1求得數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₀、a₁、a₂的值，再由xⁿ（n≥2）的系數(shù)為0得到數(shù)列遞推式，說(shuō)明數(shù)列為遞增數(shù)列，從而證得a_n≥n；
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，放大后證得S_n＜2，把S_n≤rf（x）恒成立轉(zhuǎn)化為2x²+2x+r-2≥0在x∈D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上恒成立，結(jié)合判別式可得滿(mǎn)足條件的正常數(shù)r存在．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
得（1-x-x²）$（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{n}{x}^{n}+…）=1$，
顯然x，x²的系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為1，
∴a₀=1，a₁-a₀=0，a₂-a₁-a₀=0，
則a₀=1，a₁=1，a₂=2，
考慮xⁿ（n≥2）的系數(shù)，則有a_n-a_n-1-a_n-2=0（n≥2），
即a_n+2=a_n+1+a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴對(duì)任意的n∈N^*都有a_n≥n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴S_n=（$\frac{1}{{a}_{0}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{3}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{4}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{{a}_{0}}+\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜2．
若存在正常數(shù)r，使{b_n}的前n項(xiàng)和S_n≤rf（x）對(duì)任意的x∈D恒成立，
即rf（x）=$\frac{r}{1-x-{x}^{2}}≥2$對(duì)任意的x∈D恒成立，
∵1-x-x²＞0在x∈D上成立，
也就是r≥2-2x-2x²，即2x²+2x+r-2≥0在x∈D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上恒成立．
∵二次函數(shù)y=2x²+2x+r-2的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），
則需△=2²-8（r-2）=20-8r≤0，
即r$≥\frac{5}{2}$．
故存在正常數(shù)r，使{b_n}的前n項(xiàng)和S_n≤rf（x）對(duì)任意的x∈D恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．