Question

已知圓心在直線x-y=0上的C經(jīng)過A（0，2），并被直線x+y-3=0截得的弦長為

14

．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-4=0與C相切，求m+n的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的標準方程，運用點到直線的距離公式和弦長公式，列出方程組，解出a，b，r，即可得到所求圓的方程；
（2）運用圓心到直線的距離等于半徑，化簡整理，再由基本不等式，進而運用二次不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）設(shè)圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
則a=b①，a²+（2-b）²=r²②，
又2

r2-( |a+b-3| 2 )2

=

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，③
由①②③解得，a=b=2，r=2，
則圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）由于直線（m+1）x+（n+1）y-4=0與C相切，
則d=

|2(m+1)+2(n+1)-4|

(m+1)2+(n+1)2

=2，
化簡得，（m+1）²+（n+1）²=（m+n）²，
即有m+n+1=mn，
令m+n=t，則mn=1+t，
由于m，n∈R，則（m+n）²=t²=m²+n²+2mn≥4mn=4+4t，
解不等式可得，t≥2+2

2

或t≤2-2

2

．
則m+n的取值范圍是（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查點到直線的距離公式和弦長公式，考查直線和圓相切的條件，考查化簡整理的運算能力，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．