Question

3．如圖，△PAC中，B在邊AC上，且AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$-\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 可取PC的中點D，并連接BD，設BD=x，根據條件便可得出PA=2x，CD=2x，且∠BDC=120°，BC=1，這樣在△BCD中，由余弦定理即可建立關于x的方程，從而解出x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，進而得出$|\overrightarrow{PA}|，|\overrightarrow{PC}|$的值，并且∠APC=120°，這樣便可求出數量積$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的值．

解答 解：如圖，取PC中點D，連接BD，設BD=x，則：

∵BD是△PAC的中位線；
∴BD∥PA，且PA=2BD；
∴PA=2x，∠PBD=∠APB=90°；
又∠BPC=30°；
∴PD=2BD=2x；
∴CD=2x，且∠BDC=90°+30°=120°，BC=1；
∴在△BCD中，由余弦定理得：
BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos120°；
即1=x²+4x²+2x²；
∴$x=\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴$PA=\frac{2\sqrt{7}}{7}，PC=4x=\frac{4\sqrt{7}}{7}$，且∠APC=120°；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PC}|cos120°$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{4\sqrt{7}}{7}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{4}{7}$．
故答案為：$-\frac{4}{7}$．

點評 考查三角形中位線的概念及性質，三角函數的定義，以及余弦定理，數量積的計算公式．