Question

3．如圖，△PAC中，B在邊AC上，且AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$-\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 可取PC的中點(diǎn)D，并連接BD，設(shè)BD=x，根據(jù)條件便可得出PA=2x，CD=2x，且∠BDC=120°，BC=1，這樣在△BCD中，由余弦定理即可建立關(guān)于x的方程，從而解出x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，進(jìn)而得出$|\overrightarrow{PA}|，|\overrightarrow{PC}|$的值，并且∠APC=120°，這樣便可求出數(shù)量積$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的值．

解答 解：如圖，取PC中點(diǎn)D，連接BD，設(shè)BD=x，則：

∵BD是△PAC的中位線；
∴BD∥PA，且PA=2BD；
∴PA=2x，∠PBD=∠APB=90°；
又∠BPC=30°；
∴PD=2BD=2x；
∴CD=2x，且∠BDC=90°+30°=120°，BC=1；
∴在△BCD中，由余弦定理得：
BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos120°；
即1=x²+4x²+2x²；
∴$x=\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴$PA=\frac{2\sqrt{7}}{7}，PC=4x=\frac{4\sqrt{7}}{7}$，且∠APC=120°；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PC}|cos120°$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{4\sqrt{7}}{7}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{4}{7}$．
故答案為：$-\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評 考查三角形中位線的概念及性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，以及余弦定理，數(shù)量積的計(jì)算公式．