A. | 2 | B. | 1 | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
分析 由題意:f(x)=|lnx+ax+b|(a>0)在區(qū)間[t,t+2](t為正數(shù))上的最大值為Mt(a,b),轉(zhuǎn)化為f(x)max={f(t),f(t+2)},當(dāng)f(t)=f(t+2)時,則有:-(lnt+at+b)=ln(t+2)+a(t+2)+b,化簡得:
b=$\frac{ln(t+2)+lnt+2a(t+1)}{-2}$,當(dāng)t>x0或t<x0時,f(x)max>f(t)或f(x)max>f(t+2),只需要f(t)≥f(x)max,可得-(lnt+at+b)≥ln2+a,將b帶入化簡即可得t的最大值.
解答 解:由題意:f(x)=|lnx+ax+b|(a>0)在區(qū)間[t,t+2](t為正數(shù))上的最大值為Mt(a,b),轉(zhuǎn)化為f(x)max={f(t),f(t+2)},
當(dāng)f(t)=f(t+2)時,
則有:-(lnt+at+b)=ln(t+2)+a(t+2)+b
那么:b=$\frac{ln(t+2)+lnt+2a(t+1)}{-2}$…①
當(dāng)t>x0或t<x0時,
f(x)max>f(t)或f(x)max>f(t+2)
∴只需要f(t)≥f(x)max,
即:-(lnt+at+b)≥ln2+a
得:b≤-lnt-at-ln2-a…②
把①式帶入②,
得:lnt+ln(t+2)≥2lnt+2ln2
⇒ln(t+2)≥ln4t
⇒t+2≥4t
⇒t≤$\frac{2}{3}$
故選D.
點評 本題考查了恒等式問題,利用數(shù)形結(jié)合法,最值的討論,絕對值不等式取等條件,f(t)=f(t+2)是解題的關(guān)鍵點.屬于難題.
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A. | R | B. | (-2,2) | C. | (-∞,-$\sqrt{2}$) | D. | [2,+∞) |
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