Question

16．已知a，b，c，d為實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，且e^b=2a-1，d=2c+3，則（a-c）²+（b-d）²的最小值5．

Answer 1

分析 由題意可得點（a，b）在y=ln（2x-1）圖象上，點（c，d）在直線y=2x+3上，平移直線y=2x+3到與y=ln（2x-1）相切，切點到直線y=2x+3距離的平方即為所求．

解答 解：由題意可得點（a，b）在e^y=2x-1即函數(shù)y=ln（2x-1）圖象上，
同理可得點（c，d）在直線y=2x+3上，
對y=ln（2x-1）求導(dǎo)數(shù)可得y′=$\frac{2}{2x-1}$，
令$\frac{2}{2x-1}$=2可解得x=1，代入y=ln（2x-1）可得y=0，
∴曲線y=ln（2x-1）上的點（1，0）到直線y=2x+3的距離為$\frac{|2+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為（$\sqrt{5}$）²=5，
故答案為：5．

點評 本題考查函和導(dǎo)數(shù)，涉及轉(zhuǎn)化的思想和距離公式的幾何意義，屬中檔題．