Question

11．若ab＜0且a+b=1，二項式（a+b）⁹按a的降冪排列，展開后其第二項不大于第三項，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意T₂≤T₃，得出${C}_{9}^{1}$•a⁸•b≤${C}_{9}^{2}$•a⁷•b²（*），再由ab＜0且a+b=1，三式聯(lián)立即可求出a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，T₂≤T₃，
∴${C}_{9}^{1}$•a⁸•b≤${C}_{9}^{2}$•a⁷•b²；    （2分）
即9a⁸b≤36a⁷b（*），
又ab＜0，a+b=1，
∴a（1-a）＜0，
解得a＜0或a＞1；（3分）
∴（*）化為a⁷（1-a）[a-4（1-a）]≤0，
∴a⁷（1-a）（5a-4）≤0；  （2分）
又∵a（1-a）＜0，
∴5a-4≥0，
解得a≥$\frac{4}{5}$；
綜上，a的取值范圍是a＞1．（3分）

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了不等式組的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．