Question

11．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁e₂+1的取值范圍是（$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形可得m=10，n=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a₁，由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c=4c＞10，可得$\frac{5}{2}$＜c＜5．由離心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$$•\frac{c}{{a}_{2}}$，即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c=4c＞10，
則c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由離心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$$•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{25}{{c}^{2}}$＜4，則$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$$＞\frac{1}{3}$．
則e₁•e₂+1$＞\frac{1}{3}$+1．
∴e₁•e₂+1的取值范圍為（$\frac{4}{3}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{4}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、離心率計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．