【題目】如圖1,在△ABC中, , ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn). ( I)求證: ;
( II)直線l過(guò)點(diǎn)D且垂直于BC,E為l上任意一點(diǎn),求證: 為常數(shù),并求該常數(shù);
( III)如圖2,若 ,F(xiàn)為線段AD上的任意一點(diǎn),求 的范圍.
【答案】(I)證明:延長(zhǎng)AD到A1使得AD=DA1 , 連接CA1 , A1B, ∵D是BC的中點(diǎn),
∴四邊形ACA1B是平行四邊形,
∴ = + ,
∵ ;
(II)證明:∵ = + ,
∴ ( ﹣ )=( + )( ﹣ )= + ,
∵DE⊥BC,∴ =0,
∵ = ( )= ,
∴
(III)解:△ABC中,| |=2,| |=1,cosA= , ,
∴| |= = ,
同理 + =2 ,
∴ ( + )= 2 =| || |,
設(shè)| |=x,則| |= ﹣x(0 ),
∴ ( + )=2x( ﹣x)≤2 =1,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)取等號(hào),
∴ ( + )∈(0,1].
【解析】( I)延長(zhǎng)AD到A1使得AD=DA1 , 連接CA1 , A1B,證明四邊形ACA1B是平行四邊形,即可證明: ;( II)證明 ( ﹣ )=( + )( ﹣ )= + ,即可得出: 為常數(shù),并求該常數(shù);(III)確定 ( + )=2x( ﹣x),利用基本不等式,求 的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(x≥0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, ),其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)(x≥0)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[60,80)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[70,80)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在多面體SP﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=PC=1,AD=AS=2,且AS∥CP且AS⊥面ABCD,E為BC的中點(diǎn).
(1)求證:AE∥面SPD;
(2)求三棱錐S-BPD的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4﹣2x),a>0且a≠1.
(1)求函數(shù)y=f(x)﹣g(x)的定義域;
(2)求使不等式f(x)>g(x)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(3)求函數(shù)y=2f(x)﹣g(x)﹣f(1)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個(gè)正確命題是:在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α,β,γ,則有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|1<x<4},B={x|x≤3m﹣4或x≥8+m}(m<6)
(1)若m=2,求A∩(UB)
(2)若A∩(UB)=,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等比數(shù)列中, 分別是下表中第行中的某一個(gè)數(shù),且中任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列中.
第列 | 第列 | 第列 | |
第行 | |||
第行 | |||
第行 |
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x)在區(qū)間[﹣ , ]的最大值和最小值.
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