Question

9．已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB=8，CD=6，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范圍是[-9，0]．

Answer 1

分析 以AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
設出點M（x，y），表示出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，求出它的最值即可．

解答 解：以AB所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
如圖所示；
且圓O的直徑為AB，
設M（x，y），
則A（4，0），B（-4，0），
$\overrightarrow{MA}$=（4-x，-y），
$\overrightarrow{MB}$=（-4-x，-y）；
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（4-x）（-4-x）+（-y）²=x²+y²-16，
又M是圓O的弦CD上一動點，且CD=6，
所以16-9≤x²+y²≤16，
即7≤x²+y²≤16，其中最小值在CD的中點時取得，
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范圍是[-9，0]．
故答案為：[-9，0]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應用問題，解題的關鍵是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，表示出�?\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，是綜合性題目．