Question

對于曲線y=f（x），若存在直線l使得曲線y=f（x）位于直線l的同一側，則稱曲線y=f（x）為半面曲線，下列曲線中是半面曲線的序號為

 

．（填上所有正確的序號）
①y=

1

x

 ②y=x³  ③y=x⁴+x³ ④y=x+

1

x

 ⑤y=1-x²+xsinx．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：根據新定義，關鍵是判斷每個函數是否有最值，通過最值即可判斷是否存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側，則稱曲線y=f（x）為半面曲線

解答： 解：①y=

1

x

的定義域為和值域均為（-∞，0）∪（0，+∞）無最大值或最小值，故不存在
②y=x³的定義域為和值域均為R，無最大值或最小值，故不存在
③∵y=x⁴+x³，y′=4x³+3x²=x²（4x+3），
令y′=0，解得x=0，或x=-

3

4

，
當y′＞0，即x＞-，函數單調遞增，
當y′＜0，即x＞-

3

4

，函數單調遞減，
故當x=-

3

4

，函數有最小值，
故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側
④y=x+

1

x

無最大值或最小值，故不存在
⑤y=1-x²+xsinx，
當x趨向于無窮時，y的值趨向于負無窮，
當x趨向于0時，y=1，
故函數y=1-x²+xsinx，有最大值，
故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側
函數的圖象如圖所示

故答案為：③⑤

點評：本題考查了新定義，主要是求出函數的最值，屬于中檔題