Question

設(shè)曲線y=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx在點(diǎn)A（x，y）處的切線斜率為k（x），且k（-1）=0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函數(shù)k（x）的表達(dá)式；
（3）求證：

1

k(1)

+

1

k(2)

+

1

k(3)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，在恒成立的不等式x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先對(duì)曲線方程求導(dǎo)可得k（x）=ax²+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，又由x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立，對(duì)x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）變形可得，ax²+

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得關(guān)于ac的關(guān)系式，聯(lián)系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表達(dá)式；
（3）由（2）得到的k（x）的表達(dá)式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，運(yùn)用放縮法，可證明不等式．

解答： （1）解：由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)得1≤k(1)≤1，所以k（1）=1------（3分）
（2）解：對(duì)曲線方程求導(dǎo)可得k（x）=ax²+bx+c，
k（-1）=0，則a-b+c=0------①
由（1）得，k（1）=1，則a+b+c=1------②
由①②得a+c=

1

2

，b=

1

2

；
則k（x）=ax²+

1

2

x+c，
又由x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立可得，
ax²-

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；
由ax²+

1

2

x+c≥0恒成立可得a＞0，

1

4

≤4ac，
由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）
得0＜a＜

1

2

，且

1

16

≤ac≤

1

16

∴ac=

1

16

，
且a+c=

1

2

，則a=c=

1

4

，
則k（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
（3）證明：k(n)=

n2+2n+1

4

=

(n+1)2

4

⇒

1

k(n)

=

4

(n+1)2

--------（7分）
要證原不等式，即證

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

n

2n+4

因?yàn)?span id="j3tpflj" class="MathJye">

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

-----（8分）
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

所以

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的恒成立問題、曲線的切線方程以及放縮法證明不等式，難度較大；解（Ⅱ）題時(shí)要注意二次函數(shù)大于等于0恒成立的條件．