Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1與x軸交于A、B兩點，過橢圓上一點P（x₀，y₀）（P不與A、B重合）的切線l的方程為$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，過點A、B且垂直于x軸的垂線分別與l交于C、D兩點，設(shè)CB、AD交于點Q，則點Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．

Answer 1

分析 由橢圓方程可得A（-3，0），B（3，0），令x=-3，x=3分別代入切線方程，求得交點C，D，求得直線CB，AD的方程，兩式相乘，再由P在橢圓上，化簡整理即可得到所求軌跡方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=3，
可得A（-3，0），B（3，0），
由x=-3代入切線l的方程為$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
可得y=$\frac{4（3+{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$，即C（-3，$\frac{4（3+{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$），
由x=3代入切線l的方程為$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
可得y=$\frac{4（3-{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$，即D（3，$\frac{4（3-{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$），
可得直線CB的方程為y=$\frac{2（3+{x}_{0}）}{-9{y}_{0}}$（x-3）①
直線AD的方程為y=$\frac{2（3-{x}_{0}）}{9{y}_{0}}$（x+3）②
①×②可得y²=-$\frac{4（9-{{x}_{0}}^{2}）}{81{{y}_{0}}^{2}}$（x²-9），③
結(jié)合P在橢圓上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
即有9-x₀²=$\frac{9{{y}_{0}}^{2}}{4}$，
代入③可得，$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程聯(lián)立求交點，以及點的軌跡方程的求法，注意運用消元法，考查運算能力，屬于中檔題．