Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD的邊BC垂直于圓O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）設(shè)CD的中點為M，求證：EM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱錐B-CME的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）證明四邊形EFDM為平行四邊形，從而EM∥DF，可得EM∥平面DAF；
（II）證明EN⊥平面ABCD，利用V_B-CME=V_E-CMB，結(jié)合錐體體積公式可算出三棱錐B-CME的體積．

解答： （I）證明：∵AB∥EF，EF=

1

2

AB且CD∥AB，CD=AB，M為CD中點
∴EF∥DM且EF=DM                             …（1分）
∴四邊形EFDM為平行四邊形                         …（3分）
∴EM∥DF，且DF?平面DAF
∴EM∥平面DAF                                   …（5分）
（II）解：取OB的中點N，連接NE，△EOF是正三角形，∴∠BOE=

π

3

∴△BOE是正三角形，則EN⊥OB                 …（6分）
又CB⊥平面AFEB，
∴EN⊥CB
∵OB∩CB=B，…（7分）
∴EN⊥平面ABCD                             …（8分）
又EN=

3

2

                                      …（9分）
∴V_B-CME=V_E-CMB=

1

3

S_△CMB×EN=

3

12

              …（11分）
∴三棱錐B-CME的體積為

3

12

                    …（12分）

點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面平行，并求三棱錐的體積，著重考查了空間的線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．