Question

已知數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=9-6n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=n•（3-log₂

|an|

3

），設(shè)數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使T_n＜

m

6

恒成立的m的最小整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

b1

=

1

3

，當(dāng)n≥2時(shí)，

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出使Tn＜

m

6

恒成立的m的最小整數(shù)值．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，2⁰•a₁=S₁=3，解得a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=-6，
∴a_n=

-3

2n-2

．
∴通項(xiàng)公式a_n=

3，n=1 - 3 2n-2 ，n≥2

．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3-log₂1=3，
∴T₁=

1

b1

=

1

3

，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

3

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

5

6

-

1

n+1

＜

5

6

，
故使Tn＜

m

6

恒成立的m的最小整數(shù)值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小整數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．