Question

已知函數(shù)f(x)=2cos(

1

2

x-

π

6

)
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若α∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（2α）=1，求α的值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,余弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)f（2α）=1，解方程即可，求α的值；
（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
由2kπ≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，
解得4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7π

3

，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+

π

3

，kπ+

7π

3

]，k∈Z；
（2）由f（2α）=2cos（α-

π

6

）=1，
得cos（α-

π

6

）=

1

2

，
若α∈[-

π

2

，

π

2

]，則α-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
則α=-

π

6

或

π

2

；
（3）若x∈[0，

π

2

]，則

1

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

12

]，
則cos（

1

2

x-

π

6

）∈[

3

2

，1]，
即函數(shù)f（x）∈[

3

，2]，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性和值域的求解，綜合考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．