Question

11．已知點M（-1，-2）是拋物線y²=2px（p＞0）的準線上一點，A，B在拋物線上，點F為拋物線的焦點，且有|AF|+|BF|=8，則線段AB的垂直平分線必過點（　�。�

• A． （3，0）
• B． （5，0）
• C． （3，2）
• D． （5，4）

Answer 1

分析 確定拋物線的方程，由|AF|+|BF|=8，利用拋物線的定義轉化為x₁+x₂+2=8，從而求出A，B兩點橫坐標的和，設出C的坐標，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|，代入兩點間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標的和后可求m的值．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵點M（-1，-2）是拋物線y²=2px（p＞0）的準線上一點，
∴拋物線方程為y²=4x，其準線x=1．
∵|AF|+|BF|=8，
∴由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6．
設直線AB的垂直平分線l與x軸的交點C（m，0）．
由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|，
即（x₁-m）²+y₁²=（x₂-m）²+y₂²，
即（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=4x₂-4x₁=-4（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，∴x₁+x₂-2m=-4．
又∵x₁+x₂=6，∴m=5，
∴點C的坐標為（5，0）．
即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點為定點（5，0）．
故選：B．

點評 本題主要考查拋物線的定義和方程，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點，屬中檔題．