Question

1．已知$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}$=$\frac{c}$，則△ABC是直角三角形或等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)條件和等比性質對cosA進行分類討論，分別代入式子由正弦定理、余弦函數(shù)的性質進行化簡，再判斷出三角形的形狀．

解答 解：（1）當cosA=0時，即A=$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根據(jù)等比性質，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{c}$，
由正弦定理得$\frac{sinB}{sinC}=\frac{cosC}{cosB}$，則sin2B=sin2C，
所以2B=2C或2B+2C=π，則B=C或B+C=$\frac{π}{2}$，
則△ABC是直角三角形或等腰直角三角形；
（2）當cosA≠0時，即A≠$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根據(jù)等比性質，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosA}{cosA}=\frac{2cosC}{2cosB}$=$\frac{c}$，
則$\frac{c}$=1，即b=c，所以△ABC是等腰三角形；
綜上可知，△ABC是直角三角形或等腰三角形，
故答案為：直角三角形或等腰．

點評 本題考查正弦定理，余弦函數(shù)的性質，以及等比性質的靈活應用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．