Question

已知函數(shù)f(x)=

1-a

x

-ax+ln

x

(a∈R)
（1）當a=0時，求f（x）在x=

1

2

處切線的斜率；
（2）當0≤a≤

1

2

時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）設g（x）=x²-2bx+3當a=

1

4

時，若對于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，令x=

1

2

，即可求得切線的斜率；
（2）分類討論，利用導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）原命題等價于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值

1

2

，由此可求實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=0，∴f(x)=

1

x

+lnx，
∴f′(x)=-

1

x2

+

1

x

則f（x）在x=

1

2

處切線的斜率k=f′(

1

2

)=-2…（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞），f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

 ①當a=0時，f′(x)=-

1

x2

+

1

x

，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）…（6分）
 ②當0＜a＜

1

2

時，f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

=0，解得x₁=1或x2=

1

a

-1且x₁＜x₂
列表

x	（0，1）	1	（1， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

由表可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為(1，

1

a

-1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

-1，+∞)；
③當a=

1

2

時，f′(x)=-

(x-1)2

2x2

≤0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．…（10分）
（3）a=

1

4

∈(0，

1

2

)，f′(x)=-

(x-1)(x-3)

4x2

=0，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），
∴f（x）的最小值為f(1)=

1

2

原命題等價于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值

1

2

，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①當b＜1時，g（x）的最小值為g（1）=4-2b＞2，不合；
②當b∈[1，2]時，g（x）的最小值為g(b)=3-b2≤

1

2

，解得

10

2

≤b≤2；
③當b∈（2，+∞）時，g（x）的最小值為g(2)=7-4b≤

1

2

，解得b＞2，
綜上，b的取值范圍[

10

2

，+∞)． …（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查切線的斜率，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．