Question

4．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（2-x），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)只有一個根x=$\frac{1}{2}$，則f（x）=0在區(qū)間[0，2016]內(nèi)根的個數(shù)2016．

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x）和對稱性可得：f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，由f（x+1）=f（x-1）和周期性的定義求出函數(shù)的周期，由對稱性和條件求出f（x）在一個周期[0，2]上的零點個數(shù)，由周期性即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)只有一個根x=$\frac{1}{2}$，
∴由對稱性得，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴函數(shù)f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，
即函數(shù)f（x）在每兩個整數(shù)之間都有一個零點，
∴f（x）=0在區(qū)間[0，2016]內(nèi)根的個數(shù)為2016，
故答案為：2016．

點評 本題考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的對稱性與周期性的應(yīng)用，以及抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．