Question

已知實數(shù)a＞0，命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解；命題q：指數(shù)函數(shù)y=（a-

1

2

）^x為減函數(shù)，若p，q中有且僅有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：先考慮p，q均為真，由正弦函數(shù)的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得a的范圍，再由p，q中有且僅有一個是真命題，則p真q假和p假q真，分別得到不等式組，解出它們即可．

解答： 解：若p為真，由于|sinx|≤1，
則0＜a＜1；                           
若q為真，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得
0＜a-

1

2

＜1，
解得

1

2

＜a＜

3

2

．
若p，q中有且僅有一個是真命題，
則若p真q假，即有

0＜a＜1 a≥ 3 2 或a≤ 1 2

，
則0＜a≤

1

2

；                          
若p假q真，即有

a≥1或a≤0 1 2 ＜a＜ 3 2

，
則1≤a＜

3

2

，
綜上，0＜a≤

1

2

或1≤a＜

3

2

．

點評：本題考查命題的真假判斷，考查正弦函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．