Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x；     ②f（x）=x²+1；    ③f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍約束函數(shù)”的是①④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)新定義依次對函數(shù)的性質(zhì)判斷，從而求得．

解答 解：對于f（x）=2x，|f（x）|≤3|x|，故①成立；
對于f（x）=x²+1，對任意M，存在x=M，使|f（M）|＞M|x|，
故②不是倍約束函數(shù)；
對于f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），|f（0）|＞M|0|，故③不是倍約束函數(shù)；
∵f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
∴|f（x）-f（0）|≤2|x-0|，
即|f（x）|≤2|x|，
故④成立，
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及分類討論的思想方法應(yīng)用．