Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），定點M（2，0），以O(shè)為圓心，拋物線C的準線與以|OM|為半徑的圓所交的弦長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線y=-x+m（m∈R）與拋物線交于不同的兩點A、B，則拋物線上是否存在定點P（x₀，y₀），使得直線PA，PB關(guān)于x=x₀對稱．若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用垂徑定理和勾股定理列方程解出p即可得出拋物線方程；
（II）聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B縱坐標的關(guān)系，假設(shè)存在符合條件的P點，則k_PA+k_PB=0，代入斜率公式化簡即可求出x₀，y₀．

解答 解：（I）設(shè)拋物線的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$．圓O的半徑r=2，
由垂徑定理得$\frac{{p}^{2}}{4}+（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}$=4，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（II）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$得y²+4y-4m=0，
∴△=16+16m＞0，解得m＞-1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4m．
若拋物線上存在定點P（x₀，y₀），使得直線PA，PB關(guān)于x=x₀對稱，
則k_PA+k_PB=0，
∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{1}}+\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{2}}$=0，
∴y₀=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，x₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1．
∴存在點P（1，2），只要m＞-1，直線PA，PB關(guān)于直線x=1對稱．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．