Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，若$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4，且a_n≥0，則S₁₀₀等于（　�。�

• A． 5048
• B． 5050
• C． 10098
• D． 10100

Answer 1

分析 根據(jù)題意推知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n（n≥2），然后由前n項(xiàng)和公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$=0，則a₁=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4，①
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{（n-1）^{2}}$=4n-8，②
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$+$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{（n+1）^{2}}$=4n，③
由①-②得到：$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4，
∵a_n≥0，
∴a_n=2n，
由③-①得到：$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{（n+1）^{2}}$=4，
∴a_n+1=2n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差是2，
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0（n=1）}\\{2n（n≥2）}\end{array}\right.$，
∴S₁₀₀=S₁+S₂+S₃++…+S₁₀₀=0+$\frac{4+2×100}{2}$×（100-1）=10098．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列求和．解題的關(guān)鍵是求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，在求該通項(xiàng)公式時(shí)，要分類討論：n=1和n≥2兩種情況，以防錯(cuò)解．