15.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過定點P(1,1),傾斜角為$\frac{π}{3}$.
(Ⅰ)寫出直線l的參數(shù)方程和圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,求|PA|•|PB|的值.

分析 (Ⅰ)利用l經(jīng)過定點P(1,1),傾斜角為$\frac{π}{3}$,寫出直線l的參數(shù)方程;消去參數(shù)得到圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用參數(shù)的幾何意義,求|PA|•|PB|的值.

解答 解:(Ⅰ)∵l經(jīng)過定點P(1,1),傾斜角為$\frac{π}{3}$,
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù))…(2分)
∵sin2θ+cos2θ=1,且$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$,
∴圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…(4分)
(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程得$\frac{15}{4}{t^2}+({3+4\sqrt{3}})t-5=0$①…(6分)
設(shè)α是方程①的兩個實根,則${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$,…(8分)
所以$|{PA}|•|{PB}|=|{t_1}|•|{t_2}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{4}{3}$…(10分)

點評 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用,屬于中檔題.

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