Question

15．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（1，1），傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用l經(jīng)過定點(diǎn)P（1，1），傾斜角為$\frac{π}{3}$，寫出直線l的參數(shù)方程；消去參數(shù)得到圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用參數(shù)的幾何意義，求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵l經(jīng)過定點(diǎn)P（1，1），傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）…（2分）
∵sin²θ+cos²θ=1，且$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$，
∴圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入圓錐曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程得$\frac{15}{4}{t^2}+（{3+4\sqrt{3}}）t-5=0$①…（6分）
設(shè)α是方程①的兩個實(shí)根，則${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$，…（8分）
所以$|{PA}|•|{PB}|=|{t_1}|•|{t_2}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{4}{3}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題．