Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+ （a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1的值時(shí)，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x﹣1+ ，得f′（x）=1﹣ ，

又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，

∴f′（1）=0，即1﹣ =0，解得a=e．

（2）解：f′（x）=1﹣ ，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值．

（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，

則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解．

假設(shè)k＞1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

與“方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1．

又k=1時(shí)，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，

所以k的最大值為1．

【解析】（1）依題意，f′（1）=0，從而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0時(shí)②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．