Question

（2013•鷹潭一模）A﹑B﹑C是直線l上的三點，向量

OA

﹑

OB

﹑

OC

滿足：

OA

-[y+2f'（1）]•

OB

+ln（x+1）•

OC

=

0

；
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的表達式；          
（Ⅱ）若x＞0，證明f（x）＞

2x

x+2

；
（Ⅲ）當

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3時，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將條件可變形為

OA

=[y+2f′(1)]

OB

-ln(x+1)

OC

，根據(jù)A﹑B﹑C三點共線，整理我們可得y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），求出f′(1)=

1

2

，可得函數(shù)y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）構造函數(shù)g（x）=f（x）-

2x

x+2

，證明函數(shù)g（x）在 （0，+∞）上是增函數(shù)，從而有g（x）＞g（0）=0，即可證得；
（III）原不等式等價于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3，要使x∈[-1，1]恒成立，我們可以求出左邊的最大值，從而將問題轉化為m²-2bm-3≥[h（x）]_max=0，構造一次函數(shù)令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，則有Q（1）≥0及Q（-1）≥0，從而得解．

解答：解：（I）由三點共線知識，
∵

OA

-[y+2f′(1)]

OB

+ln(x+1)

OC

=

0

，∴

OA

=[y+2f′(1)]

OB

-ln(x+1)

OC

，
∵A﹑B﹑C三點共線，
∴[y+2f'（1）]+[-ln（x+1）]=1
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1）．
∴f′(x)=

1

x+1

∴f′(1)=

1

2

，
∴f（x）=ln（x+1）…4分
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，
由g′(x)=

x2

(x+1)(x+2)2

，
∵x＞0，∴g'（x）＞0
∴g（x）在 （0，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞

2x

x+2

；…8分
（III）原不等式等價于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3，令
h（x）=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，由h′(x)=

x3-x

1+x2

，
當x∈[-1，1]時，[h（x）]_max=0，
∴m²-2bm-3≥0，
令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，則有Q（1）≥0及Q（-1）≥0
即

m2-2m-3≥0 m2+2m-3≥0

，解得m≤-3或m≥3．…12分．

點評：本題以向量為載體，考查三點共線的充要條件，考查構造法，利用函數(shù)的單調性證明不等式，同時考查恒成立問題的處理，其中構造函數(shù)，利用求函數(shù)的最值研究恒成立問題是解題的關鍵．