Question

10．已知a＞0且a≠1，函數(shù)k（x）=log_a（x+1），f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，記F（x）=2k（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出方程（x+1）²=1-x，解出方程檢驗(yàn)即可；
（1）先分離參數(shù)m得到${a^m}=1-x+\frac{4}{1-x}-4$，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）F（x）=2k（x）+g（x）=$2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}$（a＞0且a≠1），
要使函數(shù)式有意義，則$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋篋=（-1，1），
令F（x）=0，則$2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}=0$，------（*）
方程變?yōu)椋?{log_a}{（x+1）^2}={log_a}（1-x）$，即（x+1）²=1-x，
整理得，x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=-3，
經(jīng)檢驗(yàn)方程（*）的解為x=0，x=-3不合題意，
所以函數(shù)F（x）的零點(diǎn)為0；
（2）原方程可寫成：$m=2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}$（0≤x＜1），
m=${log_a}\frac{{{x^2}+2x+1}}{1-x}={log_a}（1-x+\frac{4}{1-x}-4）$，
即${a^m}=1-x+\frac{4}{1-x}-4$，
設(shè)1-x=t∈（0，1]，因?yàn)楹瘮?shù)$y=t+\frac{4}{t}$在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
所以，當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)x=0，y_min=5，因此，a^m≥1，
①當(dāng)a＞1時(shí)，由a^m≥1解得，m≥0，
且y=a^x為增函數(shù)，因此，m≥0時(shí)，原方程在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由a^m≥1解得，m≤0，
且y=a^x為減函數(shù)，因此，m≤0時(shí)，原方程在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解．

點(diǎn)評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)定義域的確定和函數(shù)零點(diǎn)的求解，以及運(yùn)用雙勾函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．