Question

函數f（x）=e^x+x²+x+1與g（x）的圖象關于直線2x-y-3=0對稱，P，Q分別是函數f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A、

  5

  5

• B、

  5

• C、

  2 5

  5

• D、2

  5

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：根據函數f（x）和g（x）關于直線2x-y-3=0，則利用導數求出函數f（x）到直線的距離的最小值即可．

解答： 解：∵f（x）=e^x+x²+x+1，
∴f′（x）=e^x+2x+1，
∵函數f（x）的圖象與g（x）關于直線2x-y-3=0對稱，
∴函數f（x）到直線的距離的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．
直線2x-y-3=0的斜率k=2，
由f′（x）=e^x+2x+1=2，
即e^x+2x-1=0，
解得x=0，
此時對于的切點坐標為（0，2），
∴過函數f（x）圖象上點（0，2）的切線平行于直線y=2x-3，
兩條直線間距離d就是函數f（x）圖象到直線2x-y-3=0的最小距離，
此時d=

|-2-3|

22+1

=

5

5

=

5

，
由函數圖象的對稱性可知，|PQ|的最小值為2d=2

5

．
故選：D．

點評：本題主要考查導數的應用以及兩點間距離的求解，根據函數的對稱性求出函數f（x）到直線的距離是解決本題的關鍵．