Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b （x∈R，且x≠0），若實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)y=f（x）在定義域上有零點(diǎn)，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2，利用換元法令x+

1

x

=t，t≥2或t≤-2；從而可得g（t）=t²+at+b-2在t≥2或t≤-2上有零點(diǎn)；從而分類討論即可．

解答： 解：f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2，
令x+

1

x

=t，t≥2或t≤-2；
則g（t）=t²+at+b-2在t≥2或t≤-2上有零點(diǎn)；
①當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，
g（-2）=2-2a+b≤0即可，
此時(shí)a²+b²的最小值為

4

5

；
②當(dāng)a≤-4時(shí)，
a²-4（b-2）≥0即可，
此時(shí)a²+b²的最小值為16；
③當(dāng)0≤a＜4時(shí)，
g（2）=2+2a+b≤0即可，
此時(shí)a²+b²的最小值為

4

5

；
④當(dāng)a≥4時(shí)，
a²-4（b-2）≥0即可，
此時(shí)a²+b²的最小值為16；
綜上所述，a²+b²的最小值為

4

5

；
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．