Question

7．△ABC中，AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC上的高AH=4，$\overrightarrow{AH}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可過H作AC的平行線交AB于D，作AB的平行線，交AC于E，這樣根據(jù)正弦定理及平行線的知識、三角函數(shù)的誘導公式即可得出$\frac{AD}{AE}=\frac{cosC}{cosB}$，而由條件容易求出cosC，cosB的值，進而得出$\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．由向量加法的平行四邊形法則及向量數(shù)乘的幾何意義可得到$\overrightarrow{AH}=\frac{AD}{5}•\overrightarrow{AB}+\frac{AE}{2\sqrt{5}}•\overrightarrow{AC}$，進而可以求出x，y，從而得出$\frac{x}{y}$的值．

解答 解：如圖，過H分別作AC，AB的平行線，分別交AB于D，AC于E；
則四邊形ADHE為平行四邊形；
由正弦定理，$\frac{AD}{AE}=\frac{AD}{DH}=\frac{sin∠AHD}{sin∠HAD}=\frac{sin（\frac{π}{2}-C）}{sin（\frac{π}{2}-B）}=\frac{cosC}{cosB}$；
在Rt△ABH中，AB=5，AH=4；
∴BH=3，cosB=$\frac{3}{5}$；
同理cosC=$\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
∵$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{AD}{AB}•\overrightarrow{AB}+\frac{AE}{AC}•\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AH}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{5}}\\{y=\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{2\sqrt{5}}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{x}{y}=\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{AD}{AE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 考查正弦定理，兩直線平行內錯角相等，三角函數(shù)的誘導公式，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義，平面向量基本定理．