Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}中a₂=5，前4項(xiàng)和為S₄=28；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿ，T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₂b_n-1+a₁b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a₁，由a₂=5，前4項(xiàng)和為S₄=28，得到方程組，解得即可，
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法即可求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a₁，
由a₂=5，前4項(xiàng)和為S₄=28，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+d=5}\\{{S}_{4}=4{a}_{1}+\frac{4（4-1）d}{2}=28}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3，
（Ⅱ）b_n=2ⁿ，T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₂b_n-1+a₁b_n，
∴T_n=（4n-3）×2+（4n-7）×2²+（4n-11）×2³+…+5×2^n-1+1×2ⁿ，
∴2T_n=（4n-3）×2²+（4n-7）×2³+（4n-11）×2⁴+…+5×2ⁿ+1×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-（4n-3）×2+4×2²+4×2³+4×2⁴+…+4×2ⁿ+1×2ⁿ⁺¹，
=-8n-2+4（2+2²+2³+2⁴+…+×2ⁿ）+2ⁿ⁺¹，
=-8n-2+4$•\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2ⁿ⁺¹，
=-8n-10+5•2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題．解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法．并考察計(jì)算能力．