(2007•奉賢區(qū)一模)已知復(fù)數(shù):z1=log2(2x+1)+ki,z2=1-xi(其中x,k∈R),記f(x)=Re(z1•z2
(1)試寫出f(x)關(guān)于x的函數(shù)解析式
(2)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),求k的值
(3)求證:對任意實數(shù)m,由(2)所得函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=
12
x+m的圖象最多只有一個交點.
分析:(1)由z1=log2(2x+1)+ki,z2=1-xi,求出z1•z2后,結(jié)合f(x)=Re(z1•z2),可得f(x)關(guān)于x的函數(shù)解析式
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)造關(guān)于k的方程,解方程可求出k的值
(3)由(2)中結(jié)論,聯(lián)立方程y=log2(2x+1)-
1
2
x和y=
1
2
x+m,即2x•(2m-1)=1,分別討論 m=0,m<0,m>0,三種情況下函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=
1
2
x+m的圖象交點個數(shù),即可得到答案.
解答:解:(1)∵z1=log2(2x+1)+ki,z2=1-xi
∴z1•z2=[log2(2x+1)+ki]•(1-xi)
=[log2(2x+1)+kx]+[k-x•log2(2x+1)+ki]i(2分)
f(x)=Re(z1•z2)=log2(2x+1)+kx(2分)
(2)設(shè)定義域R中任意實數(shù),由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
得:f(-x)=f(x)(4分)
log2(2x+1)-kx=log2(2x+1)+kx
2kx=log2
2-x-1
2x+1
)=-x
(2k+1)x=0
得:k=-
1
2
(8分)
證明:(3)由(2)得:f(x)=log2(2x+1)-
1
2
x
聯(lián)立方程:y=log2(2x+1)-
1
2
x和y=
1
2
x+m
得:log2(2x+1)-
1
2
x=
1
2
x+m (10分)
即m=log2(2x+1)-x
log2(2x+1)=x+m=log22(x+m)
得:2x+1=2(x+m)
2x•(2m-1)=1(11分)
若 m=0   方程無解(12分)
若 m<0,2m-1<0,2x<0方程無解(13分)
若m>0  2x=
1
2m-1

x=log2
1
2m-1

方程有唯一解(14分)
對任意實數(shù)m,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=
1
2
x+m的圖象的交點最多只有一個.(15分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解方法,根的存在性及根的個數(shù)判斷,是復(fù)數(shù)與函數(shù)三要素,性質(zhì),圖象的綜合應(yīng)用,難度較大.
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x
ax+b
(a,b∈R,ab≠0)
,f(2)=
2
3
,f(x)=x
有唯一的根.
(1)求a,b的值;
(2)數(shù)列{an}對n≥2,n∈N總有an=f(an-1),a1=1;求出數(shù)列{an}的通項公式.
(3)是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足:{bn}為{an}的子數(shù)列(即{bn}中的每一項都是{an}的項)且{bn}為無窮等比數(shù)列,它的各項和為
1
2
.若存在,找出所有符合條件的數(shù)列{bn},寫出它的通項公式,并說明理由;若不存在,也需說明理由.

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1
z
∈R
,則|z-2i|的取值范圍是
[1,
5
)∪(
5
,3]
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5
)∪(
5
,3]

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2
7
2
7
 (用分數(shù)表示).

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9或10
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