Question

已知函數(shù)f（x）=

3x

3x+1

（x∈R），正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₅₀=1，則f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₉₉）等于

99

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到：a₄₉•a₅₁=a₄₈•a₅₂=…=a₁•a₉₉=1，所以lna₄₉+lna₅₁=lna₄₈+lna₅₂=…=lna₁+lna₉₉=0，由題知f（x）+f（-x）=1，得f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₉₉）里有49個1和f（lna₅₀），而f（lna₅₀）=

1

2

代入其中得到即可．

解答：解：由f（x）=

3x

3x+1

，f（-x）=

1

1+3x

，可知f（x）+f（-x）=1，
∵正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₅₀=1，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到：a₄₉•a₅₁=a₄₈•a₅₂=…=a₁•a₉₉=1，
∴l(xiāng)na₄₉+lna₅₁=lna₄₈+lna₅₂=…=lna₁+lna₉₉=0，lna₅₀=ln1=0且f（lna₅₀）=f（ln1）=f（0）=

1

2

，
根據(jù)f（x）+f（-x）=1得
f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₉₉）=[f（lna₁）+f（lna₉₉）]+[f（lna₂）+f（lna₉₈）]+…+[f（lna₄₉）+f（lna₅₁）]+f（lna₅₀）=49+

1

2

=

99

2

．
故答案是：

99

2

．

點評：考查學(xué)生利用等比數(shù)列性質(zhì)的能力，以及指數(shù)對數(shù)函數(shù)的綜合運用能力．