Question

5．已知函數(shù)f（x）定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2016）²f（x+2016）-f（-1）＞0的解集為（　　）

• A． （-2015，0）
• B． （-∞，-2015）
• C． （-2017，0）
• D． （-∞，-2017）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
則當(dāng)x＜0時(shí)，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F(xiàn)（-1）=f（-1），
即不等式等價(jià)為F（x+2016）-F（-1）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，
∴由F（x+2016）＞F（-1）得，x+2016＜-1，
即x＜-2017，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．