Question

5．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=2$
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角；
（2）求證：$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=4$，進(jìn)而得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-2$，從而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）容易求出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$，從而證出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）據(jù)條件：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$
=$4+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4$
=4；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-2$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$；
又$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$；
（2）證明：
∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4-4=0$；
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量垂直的充要條件．