Question

13．已知$\overrightarrow{AB}=（{1，2}），\overrightarrow{AC}=（{4，3}）$，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，點(diǎn)P所在平面區(qū)域的面積為5．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以求出$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{AC}|=5，sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{1}{\sqrt{5}}$，可分別以線段AB，AC所在直線為λ軸，μ軸，建立坐標(biāo)系，然后以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$為一組基底，可得到P（λ，μ），根據(jù)條件λ，μ≥0時(shí)便有0≤λ+μ≤1，這樣便可得到對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，并可求出S_△ABC，而λ，μ≤0，-1≤λ+μ≤0時(shí)便可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P所在區(qū)域面積等于S_△ABC，這樣即可求出點(diǎn)P所在平面區(qū)域的面積．

解答 解：$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{AC}|=5$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=10$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{10}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$；
∴$sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{1}{\sqrt{5}}$；
如圖，分別以邊AB，AC所在的直線為λ軸，μ軸建立如圖所示坐標(biāo)系：

以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$為一組基底，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（λ，μ）；
若λ≥0，μ≥0，則0≤λ+μ≤1，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分所示；
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×5×\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{2}$；
同理，λ≤0，μ≤0時(shí)，-1≤λ+μ≤0，此時(shí)點(diǎn)P所在區(qū)域面積應(yīng)等于$\frac{5}{2}$；
∴點(diǎn)P所在平面區(qū)域的面積為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角余弦的計(jì)算公式，以及向量坐標(biāo)的定義，能找出不等式所表示的平面區(qū)域，三角形的面積公式．