Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x-m•sin²x（m∈R）．α終邊上一點(diǎn)P（1，-

3

），且f（α）=-3．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）函數(shù)f（x）的圖象向左平移n個(gè)單位后變成偶函數(shù)g（x），求正數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的圖象與圖象變化

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，進(jìn)一步利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)的值，進(jìn)一步求出m的值．
（2）首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)進(jìn)一步利用函數(shù)的平移變換，利用整體思想求出函數(shù)關(guān)系式中n的最小正值．

解答： 解（1）f（x）=

3

sin2x-m•sin²x
=

3

sin2x-m

1-cos2x

2

=

3

sin2x+

m

2

cos2x-

m

2

，
由于α終邊上一點(diǎn)P（1，-

3

），
所以：sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，
sin2α=-

3

2

，cos2α=-

1

2

，
由于f（α）=-3，
則：

3

sin2α+

m

2

cos2α-

m

2

=-3，
解得：m=2．
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1，
函數(shù)的圖象向左平移n個(gè)單位得到的函數(shù)為偶函數(shù)．
即：g（x）=2sin[2（x+n）+

π

6

]-1，
所以：2n+

π

6

=kπ+

π

2

，
解得：n=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
則當(dāng)n=0時(shí)：n的最小正數(shù)為n=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用點(diǎn)的坐標(biāo)三角函數(shù)的值，函數(shù)圖象的平移變換問(wèn)題．