Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn)：
（1）求直線BE與A₁C所成的角的余弦值；
（2）在線段AA₁上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出AF；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出B，C，A，A₁，C₁，B₁，D，E，求出

A1C

，

BE

，利用cos＜

A1C

，

BE

＞=

A1C • BE

| A1C |•| BE |

，求出直線BE與A₁C所成的角的余弦值．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，不妨設(shè)AF=b，求出F，

CF

，

BF

，

B1D

，利用

CF • B1D =a2-a2=0 CF • B1F =2a2+b(b-3a)=0

求出b=a或b=2a，即可說明CF⊥平面B₁DF．

解答：解：（1）以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锳C=2a，∠ABC=90°，
所以AB=BC=

2

a
所以B（0，0，0），C（0，

2

a，0），A（

2

a，0，0），A₁（

2

a，0，3a），C₁（ 0，

2

a，3a），B₁（0，0，3a），D（

2

2

a，

2

2

a，3a），E（0，

2

2

a，

3

2

a）

A1C

=(-

2

a，+

2

a，-3a)，

BE

=(0，

2

2

a，

3

2

a)，
則cos＜

A1C

，

BE

＞=

A1C • BE

| A1C |•| BE |

=-

7 143

143

所以直線BE與A₁C所成的角的余弦值

7 143

143

（6分）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，不妨設(shè)AF=b，則F（

2

a，0，b），

CF

=(

2

a，-

2

a，b)，

BF

=(

2

a，0，b-3a)，

B1D

=(

2 a

2

，

2 a

2

，0)（9分）
所以

CF • B1D =a2-a2=0 CF • B1F =2a2+b(b-3a)=0

解之得b=a或b=2a，
所以當(dāng)AF=a或2a時(shí)，CF⊥平面B₁DF（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線所成角的求法，考查空間向量的求法，向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，空間想象能力．