Question

已知函數(shù)f（x）=（e-1）lnx-x+a（a＞1）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）記函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上的最小值為g（a）．
（i）求g（a）的表達式；（ii）求滿足g（a）=g（

4

a

）的實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，令導數(shù)對于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（2）（i）易知f（e）=f（1）=a-1，討論當1＜a≤e時，當a＞e時，求出最小值；
（ii）易知g（a）在[1，+∞）上單調遞增，則g（a）=g（

4

a

）即有a=

4

a

，即可求得a的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′(x)=

e-1

x

-1=

e-1-x

x

(x＞0)，
當0＜x＜e-1時，f′（x）＞0，當x＞e-1時，f′（x）＜0，
則f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，e-1），遞減區(qū)間為（e-1，+∞）；
（2）易知f（e）=f（1）=a-1，
（i）①當1＜a≤e時，f（x）_min=f（1）=a-1，
②當a＞e時，[1，a]為減區(qū)間，則f（x）_min=f（a）=（e-1）lna
∴g（a）=

a-1，1＜a≤e (a-1)lna，a＞e

；
（ii）易知g（a）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g(a)=g(

4

a

)?a=

4

a

(a＞1)，
∴a=2，
∴滿足g(a)=g(

4

a

)的實數(shù)a的取值集合為{2}．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．