Question

2．已知函數(shù)$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求a值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并利用定義證明．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)．則f（0）=0，解得a的值；       
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)．
∴f（0）=0，
即a+$\frac{1}{{4}^{0}+1}$=0，解得a=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知a=-$\frac{1}{2}$，則f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，給出如下證明：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$）-（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$）
=$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{{4}^{{x}_{1}}-4}^{{x}_{2}}}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}}（1{-4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴${4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞1，∴1-${4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，
又∵4^x₁＞0，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
∴$\frac{{4}^{{x}_{1}}（1{-4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．