Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x-1

且此函數(shù)圖象過點（2，1）
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）用定義證明函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象過點（2，1），將x=2，y=1代入函數(shù)的解析式即可求出a的值；
（Ⅱ）先設(shè)任x₁，x₂∈（1，+∞），取值作差，通分化簡判定出符號，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判定即可．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=

a

x-1

，且此函數(shù)圖象過點（2，1）
∴

a

2-1

=1，∴a=1．
（II）設(shè)任x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∵f（x₂）-f（x₁）=

1

x2-1

-

1

x1-1

=

x1-x2

(x2-1)(x1-1)

x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0
則

x1-x2

(x2-1)(x1-1)

＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及分式函數(shù)符號的判定，屬于基礎(chǔ)題．