Question

若已知x，y滿(mǎn)足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，求z=2x+y的最大值與最小值的差是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線(xiàn)z=2x+y可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得到z=2x+y的最值即可．

解答： 解：如圖：作出可行域（6分）
目標(biāo)函數(shù)：z=2x+y，則y=-2x+z
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，Z有最大值．
A點(diǎn)坐標(biāo)由方程組

x-4y=-3 x=1

解得

x=1 y=1

，
A（1，1），Z_max=2x+y=3．（10分）
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，Z有最小值，
B點(diǎn)坐標(biāo)由方程組

x-4y=-3 3x+5y=25

解得

x=5 y=2

，B（5，2），
Z_min=2x+y=12．
故z=2x+y的最大值和最小值的差為：12-3=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見(jiàn)的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般要分三步：畫(huà)出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線(xiàn)性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線(xiàn)法確定．