Question

（滿分14分）已知圓O：，直線.

（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB=時(shí)，求k的值.

（2）若，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；

（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值。

 

Answer 1

（1）；（2）直線CD過定點(diǎn)；（3）最大值為.

【解析】

試題分析：（1）依題意圓O的半徑=，點(diǎn)O到的距離，即 =·，所以；（2）由題意O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)，則得，即，而C、D在圓O：上，所以CD方程為，整理得，由得，故直線CD過定點(diǎn) ；（3）設(shè)圓心到EF、GH的距離分別為，則 ， 而， ，，

故， 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，取“=”.

試題解析：（1）點(diǎn)O到的距離 2（分）

∴ =· （4分）

（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)

其方程為：

即：

又C、D在圓O：上

∴ 即 （7分）

由 得

∴直線CD過定點(diǎn) （9分）

（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為.

則 （11分）

∴

∴

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為 （14分）

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系綜合問題